Heute läuft REDUCE auf einer Vielzahl von Rechnerplattformen, vom DOS Personal Computer bis hinauf zum Cray Supercomputer.
Trotz seines für ein Programmsystem hohen Alters wird REDUCE in einem kontinuierlichen Prozeß ständig weiterentwickelt und erneuert. Mitte 1992 wurde REDUCE in der Version 3.4.1 freigegeben. Information über die verfügbaren Implementierungen erhält man über e-mail, indem man die Botschaft send info-package from info an redlib@elib.zib.berlin.de oder reduce-netlib@rand.org schickt. An diesen Stellen erhält man auch Information über die zahlreichen verfügbaren Anwenderpakete von REDUCE.
In Einzelfällen kann es sogar erforderlich sein, einen vollständig neuen symbolischen Kalkül einzurichten. REDUCE bietet dafür einen reichen Satz von Schnittstellen auf mehreren Ebenen an, und die Bibliothek enthält zahlreiche Vorbilder.
* Zahlen (ganz, rational, gerundet, reell oder komplex),
* Symbolen (Namen, evtl. indiziert),
* Funktionsausdrücken,
* Operationssymbolen +, -, *, /, **,
* Klammern für die Steuerung der Präzedenz.
Ein Symbol kann hierbei die Rolle eines Stellvertreters für einen unbestimmten Wert übernehmen (formale Variable), ihm kann aber auch ein Ausdruck als Wert zugewiesen werden. Im zweiten Falle wird sein Wert immer dann eingesetzt, wenn das Symbol in einem Ausdruck zitiert wird.
Beispiele für elementare Ausdrücke:
3.1415928 % Bruch a % einfache Variable (x+y)**2 / 2 % quadratischer Ausdruck log(u)+log(v) % Funktionen
* Ein Liste ist eine lineare Anordnung von Ausdrücken wie \{2,3,5,7,11,13,17,19\}.
* Ein Array ist eine "rechteckige" mehrdimensionale indizierte Struktur.
* Eine Matrix ist eine Struktur aus Zeilen und Spalten.
Zwischen Matrizen passender Dimension bzw. zwischen Matrizen und Skalaren sind arithmetische Operationen entsprechend den Regeln der linearen Algebra definiert. Daneben können Elemente einer Matrix einzeln wie Arrayelemente angesprochen werden.
Beispiel: Taylorpolynom für x * sin(x)
for i:=0:5 sum
sub(x=0, df(x*sin(x), x, i)) * x**i
/ factorial(i) ;
$- \frac{1}{6} * X^4 + X^2$
Beispiel: Rekursives Programm für das Erstellen einer Basis aus Legendre-Polynomen nach der Rekursionsformel
P_{n+1}(x) = ((2n + 1)xP_n (x) - nP-{n-1}(x)) / (n + 1)
Der infixe Operator "." fügt ein neues Element vorn an eine Liste an.
procedure Legendre_basis(m,x) ;
% Start mit Basis der Ordnung 1
Legendre_basis_aux(m,x,1,{x,1}) ;
procedure Legendre_basis_aux(m,x,n,ls) ;
% ls enthält Polynome n, n-1, n-2 $\ldots$
if n>=m then ls % fertig
else Legendre_basis_aux(m,x,n+1,
(((2n+1)*x*first ls - n*second ls) / (n+1))
. ls) ;
Ein Aufruf dieser Prozedur:
Legendre_basis(3,z) ;
\{ \frac{5}{2} *Z^3 - \frac{3}{2} *Z, \frac{3}{2} *Z^2 - \frac{1}{2}, Z, 1\}
Es können auch ganze Kalküle auf diese Weise definiert werden, wobei die Regelform der üblichen mathematischen Notation (Fallunterscheidung) recht nahe kommt.
Beispiel: Definition von Hermite-Polynomen basierend auf einer Rekursionsformel:
operator Hermite;
Hermite_rules:=
\{Hermite(0,^Äx) \Rightarrow 1,
Hermite(1, ^Äx) \Rightarrow 2*x,
Hermite(^Än, ^Äx) \Rightarrow 2*x*Hermite(n-1,x)
-2*(n-1)*Hermite(n-2,x)
when n>1\} ;
let Hermite_rules;
Erzeugen eines Hermite-Polynoms:
Hermite(4,z) ; 16*Z^4 - 48*Z^2 + 12
Es ist wohlbekannt, daß dieses Problem äquivalent ist mit dem Problem der Erkennung der Null bzw. mit der Existenz eines endlichen Algorithmus für die überführung einer beliebigen Formel in eine äquivalente kanonische Form. Eine universelle kanonische Form gibt es nicht; nur für Teilbereiche wie z.B. Polynome, rationale Funktionen, Ideale sind kanonische Formen bekannt. REDUCE baut deshalb auf einer kanonischen Form für rationale Funktionen (Quotienten von multivariaten Polynomen) auf, bei denen als Variablen (REDUCE: Kerne) sowohl einfache Symbole wie auch Funktionsausdrücke mit beliebig komplexer Parameterstruktur auftreten dürfen. REDUCE versucht, mit geeigneten Regeln möglichst viele der Funktionen in den Bereich der systematischen kanonischen Form einzubeziehen. Für Funktionen, die sich dem generellen algorithmischen Zugriff entziehen (z.B. Wurzeln), wird versucht, mit Hilfe heuristischer Regeln ein akzeptables Verhalten zu erreichen.
Mit diesen Zahlen kann beliebig gerechnet werden. Jedoch ist der Auswertung von transzendenten Funktionen dadurch eine Grenze gesetzt, daß ihr Resultat mit Hilfe des aktiven Zahlbereiches (erweitert um Symbole wie \pi, e) exakt dargestellt werden kann.
Rechnerunterstütztes symbolisches Rechnen kann aber auch außerhalb der klassischen Algebra, etwa im Zusammenhang mit Näherungsverfahren der Analysis oder für klassische numerische Mathematik mit Gewinn eingesetzt werden.
* die Mantissenlänge ist in beliebiger Größe frei wählbar,
* es gibt keine obere Grenze für den Betrag einer Zahl, d.h. der Exponent ist nicht beschränkt.
Technisch wird dies erreicht, indem die hardwaremäßig angebotenen Gleitkommazahlen in parametrisierte Software eingebettet werden.
* lineare Ausgabeform: die Daten sind zur späteren Wiedergabe in REDUCE oder ein anderes System geeignet,
* Fremdsyntax: die Ausdrücke werden in der Syntax von FORTRAN, C oder einer anderen Programmiersprache ausgegeben zur Einfügung in numerische Codes,
* LaTeX: direkte Aufbereitung der Formeln für die Verwendung in Publikationen.
Beispiele für q:= (x + y)^3:
Q := X^3 + 3*X^2 *Y + 3*X*Y^2 + Y^3
Q := X**3 + 3*X**2*Y + 3*X*Y**2 + Y**3$
Q=X**3+3.*X**2*Y+3.*X*Y**2+Y**3
\begin{displaymath}
q=x^\{3\}+3 x^\{2\} y+3 x y^\{2\}+y^\{3\}
\end{displaymath}
Ein- und Ausgabe können auch in Files umgelenkt werden.
* REDUCE ist in einer Sprache RLISP geschrieben, welche die Funktionalität von LISP in einer anwenderfreundlichen Syntax anbietet.
* REDUCE wird traditionell mit allen Quellen (auch für den Umsetzer RLISP nach LISP) ausgeliefert.
* REDUCE ist offen gegenüber anwenderseitigen Erweiterungen, die entweder auf dem algebraischen Niveau anwendernah oder auf dem symbolischen (=LISP) Niveau systemnah vorgenommen werden können.
* Da REDUCE von LISP automatisch die Fähigkeiten zum dynamischen Laden von Programmen, zum inkrementellen Kompilieren und zum Redefinieren von Programmen erbt, ist sogar der Kern von REDUCE gegenüber lokalen änderungen offen.
Die Offenheit von REDUCE hat dazu geführt, daß in den letzten Jahren eine erhebliche Anzahl von Moduln in den verschiedensten Anwendungsbereichen von Anwendern entwickelt wurden, die den Einsatzbereich von REDUCE erheblich erweitern. Diese Pakete sind in einer Bibliothek über Netzzugang abrufbar, siehe [4].
[ 1] F. Brackx and D. Constales. Computer Algebra with Lisp and REDUCE, volume 72
of Mathematics and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
Boston, London, 1991
[ 2] J.H. Davenport, Y. Siret, and E. Tournier. Computer Algebra: Systems and
Algorithms for Algebraic Computation. Academic Press, London, 1989
[3] A.C. Hearn. REDUCE UserÂs Manual, Version 3.4. The Rand Corporation,
Santa Monica (CA), 1991
[ 4] F.W. Hehl, V. Winkelmann, and H. Meyer. Computer-Algebra. Ein Kompaktkurs
über die Anwendung von REDUCE. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1992
[ 5] M.A.H. MacCallum and F.J. Wright. Algebraic Computing with REDUCE, volume 1
of Lecture Notes from the First Brasilian School on Computer Algebra.
Clarendon Press, Oxford, 1991
[ 6] G. Rayna. Reduce, Software for Algebraic Computation. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York, 1987
[ 7] D. Stauffer, F.W. Hehl, V. Winkelmann, and J.G. Zabolitzky.
Computer Simulation and Computer Algebra - Lectures for Beginners.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1988
[ 8] W.-H. Steeb and D. Lewien. Algorithms and Computation with Reduce.
Bibliographisches Institut, Mannheim
[ 9] J. Ueberberg. Einführung in die Computeralgebra mit Reduce, für
Mathematiker, Informatiker und Physiker. Bibliographisches Institut,
Mannheim, 1992
[10] REDUCE network library, bibliography. reduce-library@rand.org, wird
laufend ergänzt.
Author der Beschreibung Herbert Melenk (Berlin)