MAPLE ist auch eine Programmiersprache. Fast alle mathematischen und graphischen Funktionen sind in MAPLE selber geschrieben und nicht in einer systemnahen Sprache wie dies bei anderen Computeralgebra-Systemen der Fall ist. Diese MAPLE-Programme sind auf der Festplatte gespeichert und werden erst bei Gebrauch geladen. Die Programmiersprache unterstützt sowohl prozedurales als auch funktionales Programmieren, doch können wir in diesem Artikel leider nicht näher darauf eingehen. Für eine Einführung in die Programmiersprache MAPLE verweisen wir auf die Bücher im Literaturverzeichnis.
Im folgenden geben wir einen kleinen überblick über die historische Entwicklung von MAPLE. Das Hauptziel bei der Entwicklung von MAPLE im Jahre 1980 war, eine mächtige und effiziente Sprache zu entwerfen, in der mathematische Algorithmen besser geschrieben werden können als in einer systemnahen Programmiersprache wie C oder Lisp. Ein weiteres Gewicht wurde darauf gelegt, den Speicherbedarf möglichst klein zu halten, so daß einerseits große Probleme gelöst werden können und andererseits MAPLE auch auf kleineren Rechnern läuft, bzw. daß mehrere Benutzer in einem Timesharing-System gleichzeitig arbeiten können. Das Resultat ist ein System, das aus drei Bestandteilen besteht: der Benutzerschnittstelle, dem Kern und der MAPLE-Bibliothek. Die Benutzerschnittstelle und der MAPLE-Kern sind in C programmiert und belegen zusammen etwa 500KB Speicher. Die MAPLE-Bibliothek ist in MAPLE selber programmiert und besteht aus etwa 2500 Funktionen (etwa 150.000 Zeichen MAPLE-Code).
Diese Trennung ermöglicht es, daß MAPLE auch auf kleinen Rechnern wie z.B. Amiga, PC, Macintosh mit nur zwei Megabyte Hauptspeicher läuft. Das macht MAPLE besonders attraktiv für den Einsatz im Unterricht. MAPLE läuft natürlich auch auf den meisten Workstations, Mainframes und Supercomputern. Beim Aufbau von MAPLE wurde großes Gewicht auf Speicherökonomie gelegt. Dies hat zur Folge, daß auch größere Probleme mit MAPLE gelöst werden können, und beeinflußt auch das Laufzeitverhalten positiv. Auf Grund der klaren Trennung zwischen der Benutzerschnittstelle, dem Kern und der MAPLE-Bibliothek wird MAPLE auch von anderen Systemen als symbolische Maschine verwendet. Das Programm MATHCAD zum Beispiel, ein Programm für numerische Berechnungen, das unter Ingenieuren weit verbreitet ist, bietet dem Benutzer gewisse symbolische Funktionen von MAPLE an.
Die MAPLE-share library, in der Funktionen und Pakete von Benutzern zur Verfügung gestellt werden, wird laufend erweitert. Daneben enthält die share library u.a. weitere Dokumentationen und Software-Werkzeuge und wird vierteljährlich mit neuen Beiträgen aktualisiert. Auf die share library kann über einen elektronischen mail server und per anonymous ftp zugegriffen werden.
Weitere Informationen über MAPLE findet man in der Maple News Group, ein elektronisches Diskussionsforum; in der Zeitschrift Maple ROOTS, die Informationen über neue MAPLE-Versionen enthält und im Maple Technical Newsletter, in dem technische Artikel und Anwendungen von MAPLE publiziert werden.
Im folgenden geben wir in groben Zügen eine übersicht über die Fähigkeiten von MAPLE in den Bereichen numerisches Rechnen, symbolisches Rechnen und Grafik. Danach illustrieren wir an Hand von Beispielen einige der neuen Fähigkeiten von Release 2. Eingabezeilen beginnen in MAPLE mit dem Zeichen ">". Die Darstellung der Resultate entspricht im wesentlichen der Bildschirmausgabe bei Release 2.
* Langzahl-Arithmetik und Gleitpunkt-Arithmetik, beides mit beliebiger Genauigkeit, sowie numerische Arithmetik mit komplexen Zahlen
* Numerische Berechnung der elementaren Funktionen und einer großen Bibliothek von Spezialfunktionen wie etwa das Wahrscheinlichkeitsintegral, die Gammafunktion und damit verwandte Funktionen, das Exponential-Integral, die Riemannsche Zetafunktion, Bessel-Funktionen, hypergeometrische Funktionen, statistische Verteilungsfunktionen usw.
* Numerische lineare Algebra: lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Eigenvektoren, Singulärwertzerlegung
* Numerische Approximationen: Splineinterpolation, B-Splines, least squares Approximationen, Pade- und Kettenbruchapproximationen, Tschebyscheff-Reihen und eine Implementation des Remez-Algorithmus
* Numerische Analysis: Integration, Berechnung von unendlichen Summen und Produkten, Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen, Nullstellenberechnung, schnelle Fouriertransformation (FFT).
* Unbestimmte und bestimmte Integration von rationalen Funktionen, von elementaren Funktionen (Risch), von algebraischen Funktionen (Trager) und von Spezialfunktionen
* Laplace-, Fourier-, Mellin- und Z-Transformationen sowie deren inverse Transformationen
* Unbestimmte und bestimmte Summation, unendliche Produkte, Lösungen von Rekursionsgleichungen, Taylorreihen, asymptotische Reihen, symbolische Grenzwertberechnungen
* Polynomarithmetik über endlichen Körpern und Zahlkörpern, einschließlich der Berechnung von größten gemeinsamen Teilern und Resultaten, Faktorisierung, Polynomzerlegung, Wurzelbestimmung sowie ein spezielles Paket zum Rechnen in endlichen Körpern
* Symbolische lineare Algebra: Determinanten und Inverse, Eigenwerte und Eigenvektoren, Smith-, Hermite-, Jordan- und Staffelform
* Lösen von Gleichungen: lineare Gleichungssysteme, polynomiale Gleichungssysteme, Gröbnerbasen, gewöhnliche Differentialgleichungen
* Pakete für spezielle Gebiete: endliche Gruppen, Zahlentheorie, Tensoren, erzeugende Funktionen, Geometrie, orthogonale Polynome, Differentialformen, symmetrische Funktionen, Graphentheorie, Statistik etc.
* Kurven in kartesischen und Polarkoordinaten
* Flächen in kartesischen, zylindrischen oder Kugelkoordinaten
* Kurven und Flächen, die durch eine Parameterdarstellung spezifiziert sind, oder die implizit als Lösung einer polynomialen Gleichung gegeben sind
* Konturgrafiken, logarithmische Skalen, Dichtegraphiken, konforme Abbildungen
* Phasenportraits und Richtungsfelder, Darstellung von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung
> factor(x^8-8, 2^(1/4));
$(x^4 + 2\sqrt{2}) (x^2 - 2^{3/4}) (x^2 + 2^{3/4})$
In Release 2 ist es neuerdings möglich, Polynome in mehreren Variablen über
beliebigen algebraischen Zahlen oder Funktionen zu faktorisieren. Betrachten wir
als Beispiel eine Faktorisierung über $Q(\sqrt2)$:
> factor (y^4-2*x*y^2-x^2, sqrt(2));
$- (x + y^2 - y^2 \sqrt{2}) (x + y^2 + y^2 + y^2 \sqrt{2})$
Von den neuen Fähigkeiten, mit algebraischen Funktionen zu arbeiten, profitieren
u.a. die Funktionen zur Integration, zum symbolischen Berechnen von Eigenwerten
und Eigenvektoren und zum Lösen von Gleichungssystemen.
> f := (6*x^5+6*x^2-4*x+8*x^3-4)/(x^6+2*x^3-2*x^2+1);
$\frac{6x^5 + 8x^3 + 6x^2-4x-4}{x^6 + 2x^3-2x^2+1}$
Die Schwierigkeit in diesem Beispiel ist, daß der Nenner von f über den
rationalen Zahlen nicht faktorisierbar ist, und daher die herkömmliche Methode,
f in Partialbrüche zu zerlegen und diese einzeln zu integrieren, nicht angewendet
werden kann. Der Algorithmus von Trager und Rothstein, der in MAPLE V
implementiert ist, liefert folgendes schönes Resultat:
$\int f dx = \sum\limits_{a^2-2=0} {(1+\alpha) ln(x^3 -\alpha x + 1)}$
Die Summe besitzt zwei Terme, die den beiden Wurzeln $\pm\sqrt{2}$ des Polynoms
$\alpha^2 - 2$ entsprechen. Mit MAPLE erhält man daher das Resultat
> int(f, x) ;
$(1 -\ sqrt{2}) ln(x^3 + \sqrt{2x} + 1) + (sqrt{2} + 1) ln(x^3 - \sqrt{2x} + 1)$
Eine Verfeinerung dieses Algorithmus, vorgeschlagen von Rioboo, ist in Release 2
implementiert. Darin wird versucht, von einer reellen Funktion einen reellen
Integranden zu finden, der keine neuen Pole aufweist. MAPLE V gab z.B. bei
folgendem Beispiel komplexe Logarithmen zurück, Release 2 findet hingegen ein
reelles Integral:
> f := (x^4-3*x^2+6)/(x^6-5*x^4+5*x^2+4);
> int(f, x) ;
$arctan(\frac{-3}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^5 + \frac{1}{2}x) + arctan(x^3) +arctan(x)$
$\int_a^\infty t^n exp(-ut^3) ln(bt)^m sin(ct^r) dt$oder
$\int_a^\infty t^n exp(-ut^3) ln(bt)^m cos(ct^r) dt$bestimmen, wobei $r \in \{0, s ,2s , s/2 \}$ und die Konstanten weitere Bedingungen erfüllen müssen. Im allgemeinen können diese Integrale mit Hilfe der unvollständigen Gammafunktion, der Riemannschen Zetafunktion, der Meijer-G-Funktion und weiteren Spezialfunktionen ausgedrückt werden.
> int(exp(-t)*cos(t)*ln(t) , t=0..infinity);
$\[ \frac-{\ln(2)}{4}-{\gamma}{2}-{\pi}{8} \]$
wobei $\gamma$ für die Eulersche Konstante steht. Als nächstes Beispiel zeigen
wir eine weitere Klasse von bestimmten Integralen, die MAPLE berechnen kann und
illustrieren gleichzeitig die Möglichkeit, Annahmen über symbolische Parameter
dem System mitzuteilen. MAPLE kann das folgende Integral nicht lösen, da die Lösung
vom Vorzeichen von p und q abhängt. Mit der assume-Funktion kann der Benutzer
in Release 2 Annahmen über symbolische Parameter treffen, in unserem Beispiel
also dem System bekannt geben, daß sowohl p als auch q reell und positiv sind:
> f := x^(a-1)*exp(-p*x^s-q*x^(-s)) ;
> assume(p>0) ; assume(q>0) ;
> Int(f, x=0 . . infinity) = int(f,x=0 . . infinity) ;
$\int_0^\infty x^{a-1}e^{-p^~x^3-q^~x^-3} dx
= 2 signum(s)\sqrt{q^{Ä3}}^\underline{a}
BesselK(\frac{a}{s}, 2\sqrt{p^~} \sqrt{q^~}) \frac{1}{\sqrt{p^~}^\frac{a}{s}} s^{-1}$
(Die Ausgabe p^~ bedeutet, daß das Symbol p eine zusätzliche Eigenschaft besitzt,
die dem System bekannt ist.)
> asympt(erf(x), x) ;
$1 + (- \frac{1}{\sqrt{\pi x}} + \frac{1}{2\sqrt{\pi x^3}}
- \frac{3}{4\sqrt{\pi x^5} + O(x^{-7})) e^{-x^2}$
Mit Hilfe dieser Reihenentwicklung kann MAPLE den folgenden Grenzwert
bestimmen:
> Limit(exp(x^2)*(1-erf(x)),x=infinity) =
> limit(exp(x^2)*(1-erf(x)),x=infinity) ;
$\lim_{x\to\infty} e^x^2 (1 - erf(x)) = 0$
Release 2 enthält ein noch mächtigeres Modell, um Grenzwerte zu berechnen,
die mit obigem Reihenansatz nicht gelöst werden konnten. Der folgende Grenzwert
ist ein Beispiel dafür:
> f := (GAMMA(n+1/GAMMA(n))-GAMMA(n)) /ln(n) :
> Limit(f,n=infinity) = limit(f,n=infinity) ;
$\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n +\Gamma(n)^{-1}) - \Gamma(n)}}{ln(n)} = 1$
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[1] B.W. Char, K.O. Geddes, G.H. Gonnet, B. Leong, M.B. Monagan, and S.M. Watt. Maple V Language Reference Manual. Springer-Verlag, New York, first edition, 1991 [2] B.W. Char, K.O. Geddes, G.H. Gonnet, B. Leong, M.B. Monagan, and S.M. Watt. Maple V Library Reference Manual. Springer-Verlag, New York, 1991 [3] B.W. Char, K.O. Geddes, G.H. Gonnet, B. Leong, M.B. Monagan, and S.M. Watt. First Leaves: Tutorial Introduction to Maple. Springer-Verlag, New York, 1992 [4] W. Ellis, E.W. Johnson, E. Lodi, and D. Schwalbe. Maple V Flight Manual: Tutorials for Calculus, Linear Algebra, and Differential Equations. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, Califormia 93950, 1992 [5] The Maple technical newsletter, Birkhäuser, Boston, 1992
Author der Beschreibung Michael Monagan (Zürich)